Axiomatização e Formalização: exigência da ciência
1 - INTRODUÇÃO
Qual é a tarefa específica do filósofo no panorama geral dos esforços, embora tão diversos entre si, efetuados por tantos estudiosos ao longo dos séculos, para reconquistar uma certa unidade das ciências?
Que seja uma tarefa importante, é demonstrado por uma simples reflexão que possamos fazer sobre toda a história do pensamento humano, contudo que se faça com alguma seriedade de propósitos, como também no-lo confirma o movimento da International Encyclopedia of Unified Science, também chamado de Enciclopédia de Chicago, porque publicada pela University Of Chicago Press.
Este fato resulta caracterizado não tanto pela impostação enciclopédica de pesquisa da unidade das ciências, quanto pela orientação filosófica que está à base de tal impostação.
Reconhecida assim de fato sua importância, limitamo-nos a determiná-la com três observações:
2 – AXIOMATIZAÇÃO DE UMA TEORIA
A moderna tendência à axomatização e formalização das teorias, abordando problemas da maior profundidade e generalidade, muito afins aos da gnoseologia tradicional, tem suscitado entre os filósofos as mais violentas discussões.
Esta tendência resulta tão estritamente ligada ao grande movimento crítico-convencionalístico, que aparece como sua conseqüência natural.
Ninguém poderá negar de fato que, embora os Elementos de Euclides mostrem um lúcido exemplo de obra de certa maneira axiomatizada, foi somente no fim do século passado que o método axiomático alcançou um nível de efetivo rigor, dando possibilidade aos lógicos e matemáticos de compreender a essência da estrutura formal das teorias, independentemente da maior ou menor evidência desta ou daquela proposição.
Os primeiros capítulos da matemática, de que foi tentada uma rigorosa axiomatização no sentido moderno do termo, foram a aritmética e a geometria: Peano para a primeira e Hibert para a segunda.
Para confirmar os estreitos nexos entre a nova e as anteriores fases da pesquisa matemática, podemos assinalar o decidido avanço dado à axiomatização das teorias geométricas pela célebre obra – "Geometrie der Lage" (1847) de K. C. von Staudt, que é considerada com justa razão, como uma das melhores peças da matemática do século XIX: de fato nela se pode observar a primeira demonstração da total autonomia da geometria projetiva com relação à geometria métrica.
Um dos caracteres mais relevantes desta obra é constituído pela preocupação formal com que se acham enunciados os conceitos básicos da geometria e as relações intercorrentes. Foi exatamente tal preocupação que permitiu a descoberta da origem profunda da "lei da dualidade", que já era conhecida por Poncelet e Gergonne, diretamente ligada à exata simetria com que, nas relações citadas, aparecem os termos "Ponto" e "Plano" em relação ao termo "Reta".
Vamos dar como exemplo algumas duplas de postulados onde a simetria é bastante clara e que são conhecidos por todos os estudantes de nossos cursos colegiais:
Resulta claro desta simetria que, se fizermos corresponder ao termo "ponto" a intuição que normalmente unimos ao termo "plano" e vice-versa, deixando invariável a intuição que fazemos corresponder ao termo "reta", os teoremas da geometria projetiva e suas demonstrações ficariam variadas.
Embora não tem sido capaz de enunciar um sistema completo de postulados, apto a sustentar efetivamente toda a geometria produtiva, von Staudt abriu sem dúvida o caminho para a pesquisa de um tal sistema e sobretudo abriu o caminho para o exato valor da importância relativa às formas das relações entre as entidades geométricas, mostrando que ela era muito mais essencial à construção da geometria ___ que a natureza particular das entidades consideradas.
O processo de axiomatização de uma teoria consistirá pois na rigorosa separação entre aquilo que constitui sua estrutura formal, isto é os nexos que unem os conceitos e as proposições entre si, e aquilo que, por outro lado, constitui o conteúdo específico das noções tratadas, conteúdo esse que representa algo extrínseco em relação dos nexos citados, irrelevante para a dedução dos teoremas, unicamente válido para fornecer uma ilustração sobre algum exemplo particular (exemplo esse que pode variar sem que se altere minimamente a consistência científica da própria teoria).
É típico o caso da aritmética peaneana que se apoia inteiramente sobre os famosos "cinco" axiomas, formulados pelo matemático italiano, sem ter que nunca apelar para o significado dos três conceitos primitivos (número natural, zero, sucessivo) e que efetivamente podem ser submetidos a várias interpretações, conforme foi demonstrado por Russell.
Deve-se notar porém que Peano e Hilbert não excluíram a origem intuitiva das noções primitivas e dos axiomas que encadeiam uma noção à outra.
Hilbert, por exemplo, admite explicitamente que cada grupo de axiomas exprime algumas verdades fundamentais deduzidas diretamente da nossa intuição.
Aquilo que porém condenaram no modo mais absoluto é a pretensão de fazer intervir esta carga intuitiva no desenvolvimento das teorias com apelos mais ou menos freqüentes a propriedade "óbvias", a hipóteses "subentendidas" e assim por diante; segundo eles tal desenvolvimento se deve basear exclusivamente sobre a forma das relações estabelecidas, uma vez por todas, entre as noções consideradas.
Este programa foi exatamente o resultado do endereço crítico que sacudiu profundamente a ciência do século XIX.
O método axiomático não é e não quer ser outra coisa, se não um instrumento eficaz para atuar o renovado rigor de que a tendência acima ilustrada tinha revelado a urgente necessidade.
O matemático do fim do século XIX que se utiliza deste instrumento, se propõe a combater sobretudo um adversário, cuja periculosidade aprendeu a conhecer – combater o abuso, especialmente nos velhos textos científicos, de processos mal definidos, de hipóteses não analisadas, com a desculpa de uma vaga evidência, de expressões equívocas que podem nos levar inesperadamente às famosas e terríveis antinomias.
A eficácia do método axiomático deriva do completo e escrupuloso controle que ele exerce sobre o discurso científico, controle esse que, através do discurso, se estende a tudo quanto à expresso e afirmado pela ciência.
Axiomatizar uma teoria significa estabelecer que cada conceito, cada propriedade, cada operação poderão ser usados, ao longo do discurso, somente no sentido exato em que tal conceito, propriedade ou operação foram implicitamente definidos pelos axiomas da teoria, os quais assumem assim a funçào de regras sintáticas gerais daquele particular discurso científico. Uma mudança, embora mínima, de uma ou mais regras infirmará toda a construção, transformando o sentido de cada asserção.
Os adversários do método axiomático acham que o controle rigoroso acima descrito limita e empobrece o trabalho criativo do cientista; a eles é fácil responder que somente numa teoria axiomatixada, tal trabalho se torna ciente de si próprio e portanto verdadeiramente produtivo.
3 – EFICÁCIA DA AXIOMATIZAÇÃO
A maneira com que foram ilustrados os caracteres e a função do método axiomático põe em evidência outro fato que parece óbvio mas que tem uma importância fundamental: o fato que a axiomatização representa uma etapa muito significativa e original da matemática mas que não deve fazer esquecer a existência de outras etapas que a precederam e a prepararam.
Foi exatamente a crescente exigência de rigor, atuando nas fases anteriores da pesquisa, o que tornou possível a criação do método axiomático, foram os problemas levantados em tais casos a convencer os matemáticos mais sérios da impossibilidade de continuar a tratá-los com processos ingênuos e imprecisos até então usados.
A importância desta constatação depende do fato que ela pode ser requisitada contra dois erros igualmente perigosos, embora antitéticos:
Como foi visto, o reconhecimento que os teoremas de um sistema científico dependem essencialmente das regras que determinam os nexos entre uma expressão e outra, prescindindo de sua interpretação, valeu a eliminar a dúvida, pelo menos entre os estudiosos mais abertos, sobre a função determinante que exerce a estrutura formal de nossos discursos, seja na matemática, seja mais geralmente em toda argumentação racional.
No campo específico das pesquisas matemáticas, a aplicação em larga escala do método axiomático, isolando as estruturas formais das teorias examinadas das correspondentes interpretações particulares, antes reconhecidas como inseparável delas, tornou passível, no início de nosso século, a descoberta que muitas teorias, aparentemente sem ligação recíproca, possuíam, na realidade, a mesma estrutura formal, pelo que parece lícito considerá-las como aspectos de um mesmo sistema dedutivo.
Surgiu disso um notável impulso para as pesquisas em torno do hisomorfismo; isso conduziu alguns matemáticos a estudar o hisomorfismo existente não só entre as teorias mas entre famílias inteiras de teorias, como por exemplo a família das álgebras de Boole ou a família das álgebras dos conjuntos.
A contribuição dos novos resultados, assim obtidos, ao programa de unificação das teorias científicas foi enorme: álgebra, geometria, etc. sofreram, nesta perspectiva, uma transformação quase radical. O método axiomático, apesar das desconfianças suscitadas em alguns estudiosos, foi também aplicado a teorias não matemáticas dando possibilidade, muitas vezes, a avanços conceituais notáveis.
Hoje, grande parte dos cientistas afirma que o primeiro passo para o exame crítico de qualquer teoria científica deve consistir numa exposição da mesma em formas rigorosamente axiomática.
Mas há outro passo mais importante: o estudo metódico e aprofundado dos sistemas de axiomas, sem nenhuma referência a suas interpretações, conduziu os matemáticos a idear novos sistemas, obtidos dos anteriores, com a eliminação ou inclusão de algum axioma, elevando-se assim a teorias sempre mais gerais, que, muitas vezes, conseguiram abarcar dentro de si , como capítulos particulares, duas ou mais teorias já conhecidas, diversas entre si apenas por algum aspecto parcial de sua estrutura.
Assim, a chamada fantasia criadora do matemático não somente não ficou paralisada, mas, ao contrário, recebeu um enorme impulso, com este fato novo porém, que, em vez de desenvolver-se no âmbito de noções vagas e imprecisas e de chegar muitas vezes a proposições aceitáveis como válidas somente acrescentando condições muito restritivas, ela pôde desenvolver sua obra em campos inteiramente dominados pela razão e dar lugar a teorias tão ousadas quanto exatas e rigorosamente formuladas.
Perante a descoberta de tais inegáveis entidades, isto é, à surpreendente constatação que certas estruturas formais se repetem com poucas variações em várias originariamente muito diversas, como a geometria, a álgebra, a mecânica, o cálculo das propriedades etc., o metafísico sente a tentação de indagar a "razão última" de tal constância e talvez de considerar as citadas estruturas como exprimindo alguma prioridade absoluta do
O filósofo da ciência se limita a apontar a força que o cientista adquire por ___ alcançado pleno conhecimento do aspecto estrutural das próprias teorias: força que atua seja através do pleno domínio do modo de articular-se de cada ciência dedutiva, seja através da criação de teorias novas, sempre mais abstratas e gerais, mas nem por isso fugindo-se ao domínio de nossa análise.
Nesta passagem gradual das estruturas axiomáticas das teorias científicas tradicionais a estruturas novas e sempre mais ousadas, a presença do fator "convencional" é tão manifesta que não vale a pena perder tempo a trazer exemplos.
Mas um aspecto importante merece ser frisado: a presença deste fator não teve o efeito de progressivo isolamento das teorias, mas, ao contrário, a descoberta de nexos sempre mais profundos entre uma e outra delas.
A presença de "convencionalismo" nas teorias científicas levou os estudiosos não a fraccionar a ciência em tantas disciplinas estranhas uma à outra, mas a por o acento sempre mais claramente sobre sua fundamental unidade.
4 – FORMALIZAÇÃO E DEMONSTRAÇÃO
Para compreender totalmente a inovação agora trazida, entre a estrutura da pesquisa científica moderna, pela adoção em larga escala do método axiomático, é necessário sublinhar ainda a resolução produzida por tal método na noção mesma de demonstração.
Esta tinha sido concebida por longo tempo como um processo que tinha a finalidade de derramar sobre os teoremas a evidência dos postulados; isto implicava naturalmente duas consequências:
Ambas estas posições tiveram que ser abandonadas nesta nova concepção.
Embora não se possa negar a existência de alguns nexos entre os axiomas e a intuição, o método axiomático desloca o centro de gravidade da teorização das ciências destes nexos, isto é, da evidência que eles trazem ou trariam aos axiomas de cada disciplina, para a estrutura formal das teorias; daí a imediata consequência de que a aceitação de um sistema de axiomas deve ser provada não mais com referência à evidência de tais axiomas e sim ao edifício construído sobre eles.
Se este edifício der origem a alguma contradição, ele deverá ser recusado como inconsistente; se, por outro lado, se revelar não contraditório, ele deverá ser acolhido de pleno direito na grande família das ciências.
A íntima conexão entre a introdução de um tal novo critério de cientificidade e as disputas acerca da aceitabilidade das geometrias não eucidianas é bastante claro que não vale a pena despender maior análise; também são bastante claras as conexões entre o citado critério e as disputas acerca das famosas antinomias descobertas, no início de nosso século, na teoria dos conjuntos.
A aceitação do critério, há pouco ilustrado, por parte de Hilbert e de outros importantes matemáticos do nosso século, suscitou o problema de encontrar um caminho mais apto a demonstrar que um caminho mais apto a demonstrar que um sistema axiomático é não contraditório, isto é, não leva e não pode levar a demonstrar duas proposições que se neguem entre si.
Em tais pesquisas não foi difícil demonstrar, baseado na teoria do hisomorfismo e na teoria geral da interpretação, que a prova da não contraditoriedade de alguns capítulos da matemática pode ser reconduzida à não contraditoriedade de outros, como por exemplo, a não contraditoriedade das geometrias não euclidianas à da mesma geometria euclidiana.
Por este caminho se chegou rapidamente a entender que a aritmética goza de uma posição privilegiada no âmbito geral da matemática, porque a demonstração de sua não contraditoriedade de todas as outras partes desta ciência.
Do exame da não contraditoriedade de uma teoria particular, já constituída e afirmada historicamente, passou-se ao problema mais geral de estabelecer, havendo um sistema de axiomas A e uma proposição P, se A implique P ou sua negação, neste último caso a união de A e P ocasionará uma teoria contraditória.
Como aparece desta última consideração, o problema da não contraditoriedade está ligado ao da dependência ou independência das proposições, e portanto ao problema da redutibilidade ou não do sistema de axiomas em que se baseia certa teoria.
Outros estudos semelhantes se endereçam para determinar a equivalência de axiomas ou de sistemas de axiomas, diversos entre si, a função de um axioma entre o sistema etc.
Surgiu então um campo de pesquisa muito vasto: o campo das metamatemáticas, segundo Hilbert, que se distinguem das da matemática tradicional por este caráter específico: não mais tratar algum problema particular interno a uma teoria, mas a própria teoria em sua globalidade. Portanto deste novo ponto de vista perde totalmente qualquer significado perguntar se um teorema em si próprio é verdadeiro ou falso: a noção de verdade ou falsidade de um teorema só tem sentido em relação a uma certa teoria.
5 – AXIOMATIZAÇÃO, FORMALIZAÇÃO E LINGUAGEM
Antes de passar à análise do desenvolvimento técnico das pesquisas citadas, é oportuno considerar a influência que o método axiomático teve, além do sucesso na matemática, também em campo de pesquisas bastante mais amplo.
Para explicar tal influência, podemos ilustrar o fato com duas perguntas muito simples e imediatas:
É a estas perguntas que tenta dar umas resposta a enorme difusão dos estudos sobre linguagem da filosofia contemporânea: isto é, utilizar o rigor da tratação axiomática no estudo geral do discurso e não apenas no discurso matemático.
Certamente os axiomas em que se articula a linguagem comum se acham quase sempre subentendidos e não têm por isso a especificidade dos axiomas de matemáticas; por isso mesmo é necessário fazer todo o esforço para torná-los explícitos e determinar seu significado e sua função.
Indubitavelmente a fraqueza lógica de certos debates depende exatamente da falta de rigor de sua sintaxe.
Individuar e precisar esta sintaxe deve ser a primeira tarefa do filósofo da ciência.
A necessidade ora apontada de uma total reorganização da estrutura formal da nossa linguagem, ou sua substituição com uma nova linguagem mais sistemática, fornecida de regras sintáticas rigorosamente formuladas, capazes de eliminar toda possibilidade de equívocos, constitui um dos pontos fundamentais das pesquisas do nosso século, especialmente do programa neopositivista.
E certamente a tentativa de pôr em ação este programa contribuiu sem dúvida para liberar a tratação do problema científico de muitos equívocos, herdados de antiga concepções filosóficas, que obstaculavam seu desenvolvimento.
Sem dúvida a axiomatização desenvolve uma função importantíssima, mas não se pode pretender que resuma em si toda a pesquisa matemática; assim a crítica lingüística, embora se apresente como um instrumento utilíssimo, não poderá certamente oferecer a solução de todos os problemas conexos com a ciência moderna. Esta tem atravessado muitas fases, ao longo dos séculos, e nada no autoriza a pensar que esta fase seja a definitiva e imutável; mas a discussão acerca da validade de um método em relação a esta fase, não se pode confundir com a discussão acerca da validade geral do mesmo.
6 – CIÊNCIA E LÓGICA
As primeiras axiomatizações das teorias científicas, embora se propusessem de dar a máxima ênfase aos nexos lógicos entre as proposições, deixavam numa relativa indeterminação o significado destes nexos lógicos.
Mas a descoberta das famosas antinomias em capítulos sem dúvidas fundamentais da matemática, como a teoria dos conjuntos e a introdução das pesquisas matemáticas, obrigou os matemáticas e os filósofos a eliminar este último resíduo de indeterminação.
Eles entenderam que é impossível chegar ao completo domínio da estrutura formal de uma teoria, desde que nos limitemos a especificar com o máximo rigor o sistema das proposições e dos conceitos primitivos de onde ela se inicia, abandonando ao domínio da intuição as regras pelas quais se entende deduzir logicamente uma proposição de outra; uma mudança mínima nestas regras pode modificar a inteira estrutura de teoria axiomatizada, assim como uma mudança dos postulados.
Surge assim a certeza de que, para expor uma teoria em forma efetivamente rigorosa, é necessário incluir nela também as regras de sua lógica, considerando-as como parte integrante da própria teoria.
"Para que um sistema dedutivo possa ser declarado satisfatório, escreve Pasquinelli,(1) é necessário incluir neles os princípios lógico através dos quais os enunciados são deduzidos dos axiomas e proceder nas deduções, mantendo-se fiéis unicamente aos princípios especificados".
Não é este o momento nem o escopo da presente reflexão expor através de quais etapas tenhamos alcançado a formalização da própria lógica, quais técnicas tenham sido utilizadas para tal fim e quais resultados tenhamos obtido.
É oportuno todavia uma brevíssima consideração, para ilustrar o sentido e valor atribuídos à formalização da lógica do ponto de vista histórico.
É um fato inconteste que a humanidade antes agiu e depois construiu teorias sobre a ação , antes efetuou operações aritméticas, geométricas, mecânicas, físicas, químicas e somente depois começou a discutir o que era a matemática, a física, a mecânica, etc.
Reconhecer isso não é menosprezar o momento da reflexão; e menos incontestável ainda é que esta pôde em muitos casos fornecer ao homem meios eficazes para aperfeiçoar e fortalecer os atos que desenvolvia, de formas que a prioridade cronológica do momento ativo não pode demonstrar nada entorno de sua superioridade de direito com relação ao momento reflexivo.
Como todos já puderam experimentar, adquirir o conhecimento de uma operação, talvez repetida inúmeras vezes, significa compreender os vários momentos em que ela se articula, os caracteres e limites de cada um deles, a natureza das dificuldades encontradas; significa prever o resultado a que ela conduz, descobrir os motivos porque pode conduzir a este resultado e não a outros, individuar as correções que podem aumentar sua força.
Naturalmente acontece que a operação, fortalecida pelo conhecimento de si adquirido, obra novos problemas que necessitam de novas reflexões. A história da humanidade é um contínuo entrelaçamento dos dois momentos operativo e reflexivo e, algumas vezes, a tentativa de isolá-los, tem ocasionado a deformação de ambos.
Também a relação entre processo científico e a reflexão filosófica sobre a ciência se enquadra nesta dialética geral, de modo que nesta perspectiva global deve ser examinado e estudado.
As considerações acima mencionadas devem ser repetidas com ênfase maior em relação à lógica e constituem a base de toda tentativa séria para compreender a função bastante delicada que hoje ela exerce em relação à ciência.
Para ser mais preciosos: a lógica se constitui com um produto típico do momento reflexivo, dirigido para nos tornar conscientes do modo de argumentar que nós utilizamos seja no discurso científico e acresce através desta tomada de consciência a eficácia de nossos raciocínios.
O grande desenvolvimento em nossos dias das pesquisas lógicas nada mais é do que o resultado dos complexos e rápidos progressos, recentemente realizados pela ciência e das novas exigências de rigor nelas contidas.
Na realidade de hoje que estamos vivendo, são exatamente os problemas encontrados pelos matemáticos, físicos, etc., são as dificuldades de princípio reveladas por tais problemas, a incerteza dos métodos idealizados para resolvê-los, que nos impõem um aprofundamento cada vez maior da reflexão lógica; é, mais precisamente, a necessidade de expor nossas teorias em forma axiomática sempre mais rigorosa, aquilo que nos obriga a tratar a lógica com técnicas novas, efetivamente adequadas às exigências de tal axiomatização.
Perante uma situação da ciência tão delicada e complexa como a de hoje, não tem sentido acusar a lógica contemporânea de excesso de formalização, de artifícios inúteis e sutilezas abstratas. Se queremos que ela realmente resulte válida para precisar e melhorar os raciocínios impostos cada dia mais pelo progresso da pesquisa científica, não podemos deixar de tratá-la com as novas técnicas hoje difundidas entre os lógicos. Trata-se de métodos exigidos pelo objeto mesmo que se pretende estudar, métodos que se justificam por si só, na base dos evidentes sucessos conseguidos, perante os quais não podemos permanecer indiferentes.
Na maioria das vezes os opositores da nova lógica esquecem que esta se limita a nos tornar cientes dos processos de argumentação já em pleno florescimento na ciência mais avançada.
Ela não inventa nada, mas analisa e esclarece em todos os seus aspectos o modo de raciocinar usado pelos cientistas: o modo de raciocinar que eles devem usar, se quiserem elaborar as próprias teorias em forma adequada às exigências de rigor e de generalização advindas do mais recente desenvolvimento da pesquisa científica.
É este desenvolvimento, é este grande movimento em busca de um maior rigor, que obrigou a lógica a se renovar.
Já foi afirmado que a ciência é um fato incontestável da civilização moderna. Este fato nos põe perante o seguinte dilema: ou afirmar com os metafísicos mais intransigentes que a ciência nada tem a ver com o verdadeiro pensamento de que deve interessar-se o filósofo, isto é, nada tem a ver com a verdadeira racionalidade, ou reconhecer que ela merece ser seriamente tomada em consideração pelo filósofo e admitir consequentemente nosso dever de estudá-la com a ajuda de todas as novas técnicas lógicas que, elas somente, até agora, têm revelado uma efetiva adequação ao tipo de racionalidade da pesquisa científica mais moderna.
O importante para o filósofo da ciência é que não pretenda chegar a fixar a priori as generalíssimas leis da argumentação, impondo-as assim de maneira dogmática a quantos se preparam para a pesquisa científica, mas aceite de examiná-las através de sua realização histórica na pesquisa científica.
O objeto de estudo do filósofo da ciência e em particular do lógico, é a racionalidade efetivamente realizada pelos homens, não o conceito metafísico de racionalidade. E o fim que ele se propõe a esclarecer esta racionalidade, porque acredita que tais esclarecimentos ajudarão a torná-la mais eficiente e portanto contribuirá ao avanço da ciência.
É esta contribuição ao progresso que justifica sua obra: as mais profundas pesquisas sobre a axiomatização, os mais complexos aprofundamentos de lógicas, as distinções aparentemente artificiosas entre lógica e metafísica.
7 – VALIDADE E LIMITES
Dentro deste quadro é fácil estabelecer o exato significado das famosas limitações internas dos formalismos, expressas pelos teoremas de Godel e Church.
Trata-se de limitações singulares, ligadas a particulares níveis lingüísticos, cuja caracterização e diferenciação têm constituído uma das primeiras e mais importantes tarefas da lógica moderna.
A limitação de Godel está ligada a níveis lingüísticos fornecidos de uma potência que lhes permite exprimir a série dos números naturais; a de Church diz respeito a linguagens que admitem a quantificação de predicados poliádicos.
Perante estes resultados, os filósofos reagem de duas maneiras opostas: uns negativamente, defendendo que se trata de limitações sem qualquer interesse filosófico, porque dizem respeito não à "razão em si", mas somente aos artifícios argumentativos idealizados pela lógica moderna; outros defendem que as limitações confirmam de um ponto de vista rigorosamente científico o limite do conhecimento humano, fato já provado em sede metafísica pelas posições espiritualísticas tradicionais.
Aos primeiros podemos objetar que, se é verdade que as limitações estão ligadas a particulares níveis lingüísticos, caracterizados na lógica moderna, não é menos verdade que tais níveis não se constituem de simples artifícios formais, mas são o resultado de uma rigorosa reflexão sobre a maneira de raciocinar praticada pelo discurso comum e pelos discursos científicos: elas revelam portanto limitações realmente existentes nestes discursos e não propriedades abstratas que dizem respeito unicamente aos símbolos mais ou menos estranhos da lógica matemática. Se o filósofo pretende estudar a racionalidade através de suas manifestações históricas, isto é, através de efetivas argumentações do homem comum e do cientista, não pode desinteressar-se nem delas nem dos importantíssimos resultados alcançados pela lógica "clássica".
Aos segundos podemos objetar que estas limitações não constituem uma derrota da racionalidade humana, pelo contrário, é possível afirmar que a potência de tal racionalidade é demonstrada pelo fato de ter sido capaz de descobrir, através da reflexão lógica, limitações tão singulares, tão imperceptíveis pela intuição comum.
Ninguém pode negar que hoje, graças aos teoremas de Godel e Church, nós conhecemos os processos demonstrativos, usados pelos níveis lingüísticos a que tais teoremas se referem, certamente mais profundamente de quanto os conhecíamos antes da descoberta de tais teoremas. E já que os tais níveis lingüísticos desenvolvem uma tarefa essencial no discurso comum e nos discursos científicos, podemos, pelo maior conhecimento de sua potência, usá-los muito mais apropriadamente e por isso mais rigorosa e fecundamente.
Assim aconteceu na história da álgebra: chegou-se a demonstrar que é impossível alcançar a construção de uma fórmula capaz de resolver equações de grau superiores ao quarto: este resultado negativo tem revelado uma grande potencialidade, aumentando surpreendentemente o nosso processo das operações algébricas e abrindo caminho para mais elevados problemas.
Seja no caso da álgebra, seja no caso da lógica, as descobertas de suas limitações internas constituem uma confirmação da grande utilidade de uma rigorosa reflexão crítica sobre tudo quanto o homem faz em todas as suas operações, também naquelas que formam o mais sólido patrimônio de nossa tradição científica.
Nada parecia mais claro ao matemático dos séculos XVII e XVIII que as operações algébricas; hoje nós sabemos que esta aparente clareza era ilusória. Foi a causa de muitas pesquisas inúteis, como foi a da fórmula para resolver equações de quinto grau; sua inutilidade se tornou patente somente quando foram descobertas as limitações internas da álgebra.
Nada parece mais claro ao homem comum e ao cientista desconhecedor de lógica moderna que os processos das demonstrações matemáticas e aritméticas. Hoje nós sabemos que o mecanismo de tais demonstrações é algo muito complexo.
Tem sido exatamente a descoberta das limitações internas dos formalismos a nos fazer conhecer algumas fundamentais propriedades, antes insuspeitadas, da série dos números naturais e de todos os processos infinitos, definíveis através fuma repetição numericamente ordenada de operações.
Se o momento operativo precede o reflexivo, os resultados da lógica moderna demonstram que esta último exerce uma função essencial na dialética do progresso científico.
Se contudo queremos que ele possa desenvolver esta tarefa, devemos mantê-lo sempre intimamente ligado a tal dialética, isto é, que ele exerça a própria reflexão sobre as efetivas operações executadas pelo homem na pesquisa científica e não sobre uma abstrata figura daquilo que "deve ser" a ciência, baseada nesta ou naquela concepção apriorista do saber.
Se a reflexão atenta sobre efetivas operações da pesquisa científica não conduz, pelo contínuo desenvolvimento desta pesquisa, a resultados que se mostram contrastantes com velhos esquemas filosóficos, obtidos através de reflexão sobre fases anteriores ao conhecimento científico, deveremos ter a coragem de abandoná-los, para adotar novos, mais em harmonia com a nova realidade.
O reconhecimento que uma filosofia da ciência tem revelado uma incontestável validade em relação a uma certa fase da ciência, embora recentíssima, não deve nos induzir no erro de acreditar que seja eterna e absolutamente válida.
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